Este guia de estudo sugerido pela equipe do Projeto Fermat indica os principais conteúdos cobrados nas olimpíadas de matemática, livros e links pelos quais você pode estudar para essas competições.

OBMEP

Dentre os Assuntos que costumam ser cobrados nas provas da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, destacamos os seguintes:

Álgebra: operações elementares (soma, subtração, multiplicação e divisão); equações do 1º e 2º grau; inequações; gráficos das funções afim e do segundo grau; frações; sistema de equações; demonstração por contradição; produtos notáveis, fatoração e manipulações algébricas; indução; sistemas numéricos; divisibilidade; aritmética modular; mmc e mdc; sequências e padrões.

Geometria: arrastão de ângulos; semelhança; Pitágoras; desigualdade triangular; pontos e cevianas notáveis do triangulo; quadriláteros inscritiveis; área e perímetro (cálculo, propriedades, maximização e minimização); sólidos geométricos (nomenclatura, área da superfície, volume e planificação); noções de geometria analítica.

Combinatória:  paridade; recursão; Princípio das Casas dos Pombos; contagem (permutação, arranjo, combinação e outros métodos); probabilidade; triângulo de pascal

OBM

Transcrevemos aqui parte da publicação dos Professores Carlos Shine, Edmilson Motta e Eduardo Tengan, Orientações para alunos que pretendem ir para a IMO, que cita as principais matérias cobradas na Olimpíada Internacional de Matemática, algumas das quais também são cobradas pela Olimpíada Brasileira de Matemática:

Os principais assuntos de cada área são:

(i) Teoria dos Números: teorema de Euler-Fermat (incluindo menor expoente e Lema de Hensel), teorema Chinês dos Restos, Raízes Primitivas, Equação de Peil (generalizada ou não), Resíduos Quadráticos e Reciprocidade Quadrática, Noções de Aproximações Diofantinas. Obtenção de novos fatores primos a partir de mdcs pequenos; “Se você fatorar, tire o mdc dos fatores”.

(ii) Geometria: arrastão de ângulos; lei dos senos (e uma boa intimidade com Trigonometria); teorema de Ptolomeu, Ceva e Menelaus, reta de Euler; circunferência dos nove pontos; eixo radical; circunferência de Apolônio. Inversão. Geometria Projetiva Instrumental. Noções de Transformações Geométricas: rotações, roto-homotetias e suas “semelhanças automáticas”; homotetia e composição de homotetias. Desigualdade de Erdôs-Mordell; teorema isoperimétrico. Geometria Analítica: uso como estratégia vencedora (com o auxílio da trigonometria e números complexos). Números Complexos. Vetores. Coordenadas Trilineares. Conjugados isogonais. Simedianas.

(iii) Álgebra:

(iii-1) Polinômios: Paralelo com Números Inteiros (divisibilidade, divisão eudidiana, fatoração única, congruências, teorema chinês dos restos); polinômio interpolador de Lagrange; tabelas de diferença; irredutibilidade (teorema da raiz racional, lema de Gauss, critério de Eisenstein); fatoração única de polinômios com coeficientes em Z/pZ; polinômio minimal de um número algébrico; raízes da unidade como marcadores; análise.

(iii-2) Desigualdades: médias, Cauchy-Schwarz, médias potenciais; rearranjo; Chebyshev; Jensen; uso de pesos nas desigualdades citadas; considerações relativas à convexidade co falta dela (quando aproximar e afastar os pontos); utilização de indução; substituições (x = a – b + c, trigonométricas, etc); interpretações geométricas; desigualdades trigonométricas; Bunchinge Schur.

(iii-3) Corpos Finitos: polinômios módulo primo; polinômio irredutível — alguns fatos e cálculos (sonho de todo estudante: (a + b)≡ a+ bp (mód. p)); utilização na solução de recorrências lineares módulo um primo.

(iii-4) Funções: pontos fixos; utilização de desigualdades para concluir fatos sobre crescimento e completeza (e.g., f(x²) = (f(x))² ↔ f(R) ≥ 0, cf. problema 2,  IMO Moscou); se f(f(x)) = g(x) e g é injetora, então f é injetora; se f(g(x)) = h(x) e h é sobrejetora, então f é sobrejetora; se g é sobrejetora e encontramos f(g(x)) em função de g(x) então o problema acabou (cf. problema 6, IMO 1999); equação de Cauchy (em geral, o caminho Z → Q → R); no caso de funções com domínio Z ou Q, verificar se f é multiplicativa; simplificar notação (fazer f(constante) = a); utilização de simetria (e falta dela) para obter relações.

(iii-5) Análise: teorema do valor intermediário (Bolzano); argumentos do tipo “para nsuficientemente grande”.

(iii-6) Indução: indução completa; princípio da boa ordenação; indução em subconjuntos convenientes (multiplicativa, potências de 2); tomando a base de indução suficientemente grande; generalizando; fortalecendo a hipótese de indução.

(iv) Combinatória:

(iv-0) Estude casos pequenos: busca de padrões, obtenção de estruturas em contagens mais difíceis; estude casos grandes: comportamento assintótico de contagens.

(iv-1) Contagem e Contagem Dupla: bijeções; “tudo menos o que não interessa”; probabilidades; injeções, sobrejeções; obtenção de igualdades e desigualdades com contagem dupla, bijeções e injeções; recursões e estimativas utilizando recursões.

(iv-2) Princípio da Casa dos Pombos: formulação contínua, teorema de Kronecker, teorema de Ramsey.

(iv-3) Teoria dos Grafos: indução (sempre reduzindo o casou para os anteriores, e não o contrário); árvores; algoritmos em geral (problema 3 da IMO 2007); algoritmo de Kruskai; busca em profundidade; busca em largura; algoritmos de ordenação de conjuntos; caminhos e circuitos eulerianos; coloração de vértices em grafos, incluindo teorema das cinco cores; teorema de Turán; grafos planos (V – A + E = 2, teorema de Kuratowski); grafos bipartidos (caracterização: sem cíclos ímpares). Teorema dos casamentos, Max-Flow, Min-Cut.

(iv-4) Funções Geratrizes: fórmula de multisecção (números complexos como marcadores); utilização de várias variáveis; coeficientes em Z/pZ (recorrências lineares módulo p); analogia com pinturas em tabuleiros.

(iv-5) Geometria Combinatória: conceitos: diâmetro de um conjunto, conjunto convexo, fecho convexo; técnicas: casos extremos (problema de Silvester), princípio da casa dos pombos (problemas envolvendo pinturas do plano, coberturas); contagem (número de distâncias repetidas); determinação de possíveis posições de um ponto indeterminado; escolha de uma direção adequada.

(iv-6) Invariantes: determinação e construção de invariantes (paridade, restos, pinturas, funções); semi-invariantes (determinação e construção). “invariante automático” em recursões lineares homogêneas cujo polinõmio característico é divisível por x – 1.

(iv-8) Indução: como fazer a partir de casos pequenos; obtenção de algoritmos a partir da indução.

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Fontes de Estudo:

Sites e Materiais Online

Portal da Matemática

Com videoaulas e aplicativos, o Portal da Matemática é mais uma iniciativa da OBMEP para facilitar o acesso de todos (professores, alunos e pais de alunos) a conteúdos de alta qualidade em Matemática, que cobre o currículo do 6º ano do ensino fundamental ao 3º ano do ensino médio.

POTI

O programa Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo (POTI) tem como objetivo oferecer cursos gratuitos de matemática para os estudantes de todo o Brasil. Esse curso é presencial em algumas cidades mas todo o material e vídeos do programa (que foram feitos por alguns dos melhores professores do Brasil) estão disponíveis no site do POTI. O curso para cada um dos níveis cobrirá os conteúdos de Álgebra, Combinatória, Geometria Plana e Teoria dos Números e pode ser utilizado como fonte de estudo para a OBM.

Noic

O site Núcleo Olímpico de Incentivo ao Conhecimento (Noic) é uma iniciativa criada por alunos experientes em Olimpíadas Científicas com a intenção de ajudar pessoas a se prepararem e se informarem sobre estas, sendo o principal jornal olímpico atualmente. Eles também possuem os Problemas da Semana, onde toda semana são postados 3 problemas de matemática, informática física e química divididos por nível de dificuldade.

Eureka!

A revista Eureka! tem como objetivo divulgar a Olimpíada Brasileira de Matemática e as Olimpíadas Internacionais de Matemática pelo país, também possui o objetivo de suprir a falta de materiais em português para alunos interessados em estudar para essas olimpíadas. A revista também divulga resultados de olimpíadas e as soluções da OBM.

MathLinks

O site, que também é conhecido como  Art of Problem Solving,  é um dos mais famosos fóruns de discussões de problemas de Matemática do mundo. O Mathlinks reúne milhares de matemáticos e alunos interessados em aprender matemática. Se você tem uma dúvida em um problema, lá eh o lugar para tira-la, se deseja a resolução de alguma prova de uma olimpíada internacional você também irá, provavelmente, encontrar as soluções lá.

Treinamento IMO Ibero e Treinamento Cone Sul

Blogs criados para treinamento e seleção das equipes de alunos que representarão o Brasil na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO), na Olimpíada Ibero-americana de Matemática, na Olimpíada de Matemática do Cone Sul e na Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa, contêm listas de treinamento e antigos testes de seleção para essas olimpíadas, além de diversos materiais e artigos uteis para quem quer estudar para a OBM ou para representar o Brasil em qualquer olimpíada internacional de matemática.

Livros:

Bancos de questões da OBMEP

O banco de questões da OBMEP é organizado todo ano com diversas questões divididas por nível para alunos interessados em estudar para a OBMEP. No link acima temos acesso a todos os bancos de questões da OBMEP desde 2006 até hoje.

Apostilas do PIC

As apostilas do PIC são os principais materiais utilizados no Programa de Iniciação Científica Jr., programa oferecido pela OBMEP em parceria com o CNPq para os alunos premiados com medalha de ouro, prata ou bronze na OBMEP. São bastante úteis para quem quer estudar para a OBMEP e para quem quer aprender uma matemática que vai além da matemática do ensino fundamental e médio.

Círculos Matemáticos

O livro Círculos Matemático A Experiência Russa é um excelente material para guiar o estudo daqueles que estejam começando a entrar no mundo das olimpíadas de matemática, sendo recomendável seu estudo aos que querem participar da OBM nos niveis 1 e 2 (ensino fundamental). O livro escrito por Dmitri Fomin é um ótimo legado da verdadeira experiência russa, que fez com que esse país seja, até hoje, uma referência nas olimpíadas de matemática e no estudo da matemática em geral.

Coleção Tópicos de Matemática Elementar

A coleção do professor Antonio Caminha Muniz Neto, dividida em 6 livros, apesar de também ser utilizada para graduação em matemática, é uma importante fonte de estudo para aqueles que pretendem participar da OBM ou para quem se imagina participando de alguma olimpíada internacional. Uma grande importância desses livros se deve ao fato de terem sido alguns dos primeiros livros em português tratando de tópicos bastante comuns em olimpíadas de matemática, que antes só seriam encontrados em livros estrangeiros. Esses 6 excelentes livros carregam também em suas páginas a qualidade de um autor com larga experiência em olimpíadas de matemática.

Coleção Olimpíadas de Matemática

Como o próprio nome já indica, essa coleção de livros da SBM tem seu foco principal nas olimpíadas de matemática, em especial, na OBM. 3 de seus livros apresentam as provas e soluções de OBMs antigas, tendo também uma série de questões dos períodos aos quais os livros fazem referência. 2 outros livros apresentam as provas antigas da Olimpíada Cearense de Matemática (OCM) desde sua primeira edição em 1981 até 2005. Os outros 2 livros que completam essa coleção são 21 Aulas de Matemática OlímpicaIniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções. Vale lembrar que todos esses livros foram escritos e organizados por professores com larga experiência em olimpíadas de matemática, muitos deles fazendo parte da organização da OBM atualmente.

Teoria dos Números

O livro Teoria dos números: Um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro tem sua capa e seu prefácio recheados de piadas e trocadilhos que começam desde seu título. Apesar de ter seu foco na graduação e na pós-graduação em matemática, sua primeira parte costuma ser bastante útil no estudo de teoria dos números para a OBM e para olimpíadas internacionais. Seus 4 autores são: Fabio Brochero, Carlos Gustavo (vulgo Gugu), Nicolau Saldanha e Eduardo Tengan, todos matemáticos renomados com suas historias extremamente ligadas às olimpíadas de matemática, sendo todos ex-olímpicos e envolvidos com a organização da OBM.

Treinamento Cone Sul

Essa coleção de 3 livros mostra as provas seletivas e as listas de treinamento que serviram para selecionar e preparar os estudantes brasileiros que representaram o Brasil na Olimpíada de Matemática do Cone Sul nos anos de 2007, 2008 e 2013. Alem disso, os livros também possuem artigos realmente muito bons para quem está interessado em estudar para a OBM ou para quem deseja representar o Brasil em olimpíadas internacionais.

Livros Estrangeiros:

Dentre alguns livros estrangeiros destacamos os seguintes para quem quer estudar para a OBM nivel 3 (ensino médio) e para olimpíadas internacionais de matemática:

Winning Solutions autores: Edward Lozansky e Cecil Rousseau

The IMO Compendium: A Collection of Problems Suggested for International Mathematical Olympiads 1959-2009  autores: Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović

Problem-Solving Strategies autor: Arthur Engel

Coleção Geometric Transformations autor: I. M. Yaglom

Number Theory: Structures, Examples, and Problems autores: Titu Andreescu, Dorin Andrica

Functional Equations, A Problem Solving Approach autor: B. J. Venkatachala

Inequalities: Theorems, Techniques and Selected Problems autor: Zdravko Cvetkovski
fonte: noic.com.br